Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности.
А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.Что это такое?Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.Кто и когда ее открыл?
Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно.
Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно - в 1858 году.
Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны.
Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».СвойстваЛенте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер -6, а вот кольцо из бумаги - 5.
Научное использование
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.
Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти - замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.
По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение — это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.
Реализация на практикеВ различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.
На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них — это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
Источник творческого вдохновенияЛента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.
Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.Литература и топологияНеобычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.
Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».
Делаем сами, своими руками!
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:1. Для изготовления ее модели потребуются:
Лист обычной бумаги;
Ножницы;
Линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса — односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью .
Источник econet.ru
Существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы)[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]] .
Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке» .
Лента Мёбиуса и знак бесконечности
Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности . Однако по имеющимся историческим сведениям символ Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \infty
стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса (см. Символ бесконечности).
Вариации и обобщения
- Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
- Другое похожее множество - проективная плоскость . Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.
См. также
- «Лист Мёбиуса» (рассказ)
- «Лист Мёбиуса» (фильм)
Напишите отзыв о статье "Лента Мёбиуса"
Примечания
Литература
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.- М.: Наука, 1989.
- Гарднер М. Математические чудеса и тайны.- М.: Наука, 1978.
Ссылки
Отрывок, характеризующий Лента Мёбиуса
– У вас перебита грудная клетка, Монсеньёр, я могу помочь вам... если, конечно, вы не побоитесь принять мою «ведьмину» помощь... – как можно ласковее улыбнувшись, сказала я.При тусклом свете дымившего факела, он внимательно всматривался в моё лицо, пока его взгляд, наконец, не зажёгся пониманием.
– Я знаю, кто вы... Я вас помню! Вы – знаменитая Венецианская Ведьма, с которой его святейшество ни за что не желает расставаться – тихо произнёс Джованни – О вас рассказывают легенды, мадонна! Многие в окружении Папы желают, чтобы вы были мертвы, но он никого не слушает. Зачем вы ему так нужны, Изидора?
Было видно, что разговор даётся ему очень непросто. На каждом вздохе кардинал хрипел и кашлял, не в состоянии нормально вздохнуть.
– Вам очень тяжело. Пожалуйста, позвольте мне помочь вам! – упорно не сдавалась я, зная, что после уже никто больше ему не поможет.
– Это не важно... Думаю, вам лучше будет отсюда побыстрее уйти, мадонна, пока не пришли мои новые тюремщики, или ещё лучше – сам Папа. Не думаю, что ему очень понравилось бы вас здесь застать... – тихо прошептал кардинал, и добавил, – А вы и, правда, необыкновенно красивы, мадонна... Слишком... даже для Папы.
Не слушая его более, я положила руку ему на грудь, и, чувствуя, как в перебитую кость вливается живительное тепло, отрешилась от окружающего, полностью сосредоточившись только на сидевшем передо мной человеке. Через несколько минут, он осторожно, но глубоко вздохнул, и не почувствовав боли, удивлённо улыбнулся.
– Не звали бы вы себя Ведьмой – вас тут же окрестили бы святой, Изидора! Это чудесно! Правда, жаль, что вы поработали напрасно... За мной ведь скоро придут, и, думаю, после мне понадобится лечение посерьёзнее... Вы ведь знакомы с его методами, не так ли?
– Неужели вас будут мучить, как всех остальных, Монсеньёр?.. Вы ведь служите его излюбленной церкви!.. И ваша семья – я уверена, она очень влиятельна! Сможет ли она помочь вам?
– О, думаю убивать меня так просто не собираются... – горько улыбнулся кардинал. – Но ведь ещё до смерти в подвалах Караффы заставляют о ней молить... Не так ли? Уходите, мадонна! Я постараюсь выжить. И буду с благодарностью вспоминать вас...
Я грустно оглядела каменную «келью», вдруг с содроганием вспомнив висевшего на стене, мёртвого Джироламо... Как же долго весь этот ужас будет продолжаться?!.. Неужели я не найду пути уничтожить Караффу, и невинные жизни будут всё также обрываться одна за другой, безнаказанно уничтожаемые им?..
В коридоре послышались чьи-то шаги. Через мгновение дверь со скрипом открылась – на пороге стоял Караффа....
Его глаза сверкали молниями. Видимо, кто-то из старательных слуг немедля доложил, что я пошла в подвалы и теперь «святейшество» явно собиралось, вместо меня, выместить свою злость на несчастном кардинале, беспомощно сидевшем рядом со мной...
– Поздравляю, мадонна! Это место явно пришлось вам по душе, если даже в одиночестве вы возвращаетесь сюда! – Что ж, разрешите доставить вам удовольствие – мы сейчас покажем вам милое представление! – и довольно улыбаясь, уселся в своё обычное большое кресло, собираясь наслаждаться предстоящим «зрелищем»...
У меня от ненависти закружилась голова... Почему?!.. Ну почему этот изверг считал, что ему принадлежит любая человеческая жизнь, с полным правом отнять её, когда ему заблагорассудится?..
– Ваше святейшество, неужели и среди верных служителей вашей любимой церкви попадаются еретики?.. – чуть сдерживая возмущение, с издевкой спросила я.
– О, в данном случае это всего лишь серьёзное непослушание, Изидора. Ересью здесь и не пахнет. Я просто не люблю, когда мои приказы не выполняются. И каждое непослушание нуждается в маленьком уроке на будущее, не так ли, мой дорогой Мороне?.. Думаю, в этом вы со мной согласны?
Мороне!!! Ну, конечно же! Вот почему этот человек показался мне знакомым! Я видела его всего лишь раз на личном приёме Папы. Но кардинал восхитил меня тогда своим истинно природным величием и свободой своего острого ума. И помнится мне, что Караффа тогда казался очень к нему благожелательным и им довольным. Чем же сейчас кардинал сумел так сильно провиниться, что злопамятный Папа смел посадить его в этот жуткий каменный мешок?..
– Ну что ж, мой друг, желаете ли вы признать свою ошибку и вернуться обратно к Императору, чтобы её исправить, или будете гнить здесь, пока не дождётесь моей смерти... которая, как мне стало известно, произойдёт ещё очень нескоро...
Я застыла... Что это означало?! Что изменилось?! Караффа собирался жить долго??? И заявлял об этом очень уверенно! Что же такое могло с ним произойти за время его отсутствия?..
– Не старайтесь, Караффа... Это уже не интересно. Вы не имеете права меня мучить, и держать меня в этом подвале. И вам прекрасно это известно, – очень спокойно ответил Мороне.
В нём всё ещё присутствовало его неизменное достоинство, которое когда-то меня так искренне восхитило. И тут же в моей памяти очень ярко всплыла наша первая и единственная встреча...
Это происходило поздно вечером на одном из странных «ночных» приёмов Караффы. Ожидавших уже почти не оставалось, как вдруг, худой, как жердь, слуга объявил, что на приём пришёл его преосвященство кардинал Мороне, который, к тому же, «очень спешит». Караффа явно обрадовался. А тем временем в зал величественной поступью входил человек... Уж если кто и заслуживал звания высшего иерарха церкви, то это был именно он! Высокий, стройный и подтянутый, великолепный в своём ярком муаровом одеянии, он шёл лёгкой, пружинистой походкой по богатейшим коврам, как по осенним листьям, гордо неся свою красивую голову, будто мир принадлежал только ему. Породистый от корней волос до самых кончиков своих аристократических пальцев, он вызывал к себе невольное уважение, даже ещё не зная его.
– Готовы ли вы, Мороне? – весело воскликнул Караффа. – Я надеюсь, что вы порадуете Нас своими стараниями! Что ж, счастливой дороги вам, кардинал, поприветствуйте от Нас Императора! – и встал, явно собираясь удалиться.
Я не выносила манеру Караффы говорить о себе «мы», но это была привилегия Пап и королей, и оспаривать её, естественно, никто никогда не пытался. Мне сильно перечила такая преувеличенная подчёркнутость своей значимости и исключительности. Но тех, кто такую привилегию имел, это, конечно же, полностью устраивало, не вызывая у них никаких отрицательных чувств. Не обращая внимания на слова Караффы, кардинал с лёгкостью преклонил колено, целуя «перстень грешников», и, уже поднимаясь, очень пристально посмотрел на меня своими яркими васильковыми глазами. В них отразился неожиданный восторг и явное внимание... что Караффе, естественно, совершенно не понравилось.
– Вы пришли сюда видеть меня, а не разбивать сердца прекрасных дам! – недовольно прокаркал Папа. – Счастливого пути, Мороне!
– Я должен переговорить с вами, перед тем, как начну действовать, Ваше святейшество – со всей возможной учтивостью, ничуть не смутившись, произнёс Мороне. – Ошибка с моей стороны может стоить нам очень дорого. Поэтому прошу выделить мне чуточку вашего драгоценного времени, перед тем, как я покину вас.
Меня удивил оттенок колючей иронии, прозвучавший в словах «вашего драгоценного времени»... Он был почти, что неуловимым, но всё же – он явно был! И я тут же решила получше присмотреться к необычному кардиналу, удивляясь его смелости. Ведь обычно ни один человек не решался шутить и уж, тем более – иронизировать с Караффой. Что в данном случае показывало, что Мороне его ничуточки не боялся... А вот, что являлось причиной такого уверенного поведения – я сразу же решила выяснить, так как не пропускала ни малейшего случая узнать кого-то, кто мог бы когда-нибудь оказать мне хоть какую-то помощь в уничтожении «святейшества»... Но в данном случае мне, к сожалению, не повезло... Взяв кардинала под руку и приказав мне дожидаться в зале, Караффа увёл Мороне в свои покои, не разрешив мне даже простится с ним. А у меня почему-то осталось чувство странного сожаления, как будто я упустила какой-то важный, пусть даже и очень маленький шанс получить чужую поддержку...
Обычно Папа не разрешал мне находиться в его приёмной, когда там были люди. Но иногда, по той или иной причине, он вдруг «повелевал» следовать за ним, и отказать ему в этом, навлекая на себя ещё большие неприятности, было с моей стороны просто неразумно, да и не было на то никакого серьёзного повода. Потому я всегда шла, зная, что, как обычно, Папа будет с каким-то непонятным интересом наблюдать мою реакцию на тех или иных приглашённых. Мне было совершенно безразлично, зачем ему было нужно подобное «развлечение». Но такие «встречи» позволяли мне чуточку развеяться, и уже ради этого стоило не возражать против его странноватых приглашений.
Так и не встретившись никогда более с заинтересовавшим меня кардиналом Мороне, я очень скоро о нём забыла. И вот теперь он сидел на полу прямо передо мной, весь окровавленный, но всё такой же гордый, и опять заставлял точно также восхищаться его умением сохранять своё достоинство, оставаясь самим собой в любых, даже самых неприятных жизненных обстоятельствах.
– Вы правы, Мороне, у меня нет серьёзного повода вас мучить... – и тут же улыбнулся. – Но разве он Нам нужен?.. Да и притом, не все мучения оставляют видимые следы, не так ли?
Я не желала оставаться!.. Не хотела смотреть, как это чудовищное «святейшество» будет практиковать свои «таланты» на совершенно невиновном человеке. Но я также прекрасно знала, что Караффа меня не отпустит, пока не насладится одновременно и моим мучением. Поэтому, собравшись, насколько позволяли мне мои расшатанные нервы, я приготовилась смотреть...
Могучий палач легко поднял кардинала, привязывая к его ступням тяжёлый камень. Вначале я не могла понять, что означала такая пытка, но продолжение, к сожалению, не заставило себя ждать... Палач потянул рычаг, и тело кардинала начало подниматься... Послышался хруст – это выходили из мест его суставы и позвонки. Мои волосы встали дыбом! Но кардинал молчал.
– Кричите, Мороне! Доставьте мне удовольствие! Возможно, тогда я отпущу вас раньше. Ну, что же вы?.. Я вам приказываю. Кричите!!!
Папа бесился... Он ненавидел, когда люди не ломались. Ненавидел, если его не боялись... И поэтому для «непослушных» пытки продолжались намного упорнее и злей.
Мороне стал белым, как смерть. По его тонкому лицу катились крупные капли пота и, срываясь, капали на землю. Его выдержка поражала, но я понимала, что долго так продолжаться не сможет – каждое живое тело имело предел... Хотелось помочь ему, попробовать как-то обезболить. И тут мне неожиданно пришла в голову забавная мысль, которую я сразу же попыталась осуществить – камень, висевший на ногах кардинала, стал невесомым!.. Караффа, к счастью, этого не заметил. А Мороне удивлённо поднял глаза, и тут же их поспешно закрыл, чтобы не выдать. Но я успела увидеть – он понял. И продолжала «колдовать» дальше, чтобы как можно больше облегчить его боль.
Году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).
Свойства
Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника . Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Геометрия и топология
Параметрическое описание листа Мёбиуса.
Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.
Подобные объекты
Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
Другое похожее множество - сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в ).
Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем - пусть C будет единичным кругом в плоскости x y в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости x y , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y ).
Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.
Открытые проблемы
ОТВЕТ : Таких формул существует бесконечно много, см., напр., .
Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky ) в 1930 году, была недавно решена, см. . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.
Искусство и технология
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II , показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
См. также
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Лента мебиуса" в других словарях:
Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не… … Википедия
Группа была образована 29 марта 1996 г. Николаем Марконовым (вокал, гитара, тексты) экс Аниматоры. В группу приходят Алексей Шубенко (бас), (гр. Мотохулиганы), Валерий Быстрое (соло), (гр. Буш билдинг), Олег Буробин (ударные), (гр. Старик… … Русский рок. Малая энциклопедия
Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, однос … Википедия
Лента Мебиуса (Möbius strip) - трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости. Она была открыта независимо одновременно двумя математиками из Германии Августом Фердинандом Мёбиусом (August Ferdinand Möbius) и Иоганном Бенедиктом Листингом (Johann Benedict Listing) в 1858 году.
Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.
В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.
Геометрия и математика
Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:
где и . Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости x -y; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр u движется вдоль ленты, а параметр v - от одной границы к другой.
Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах:
Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат x , верх которого соединен с низом в соотношении (x ,0) ~ (1-x ,1) for 0 ≤ x ≤ 1, как показано на рисунке справа.
Близкие объекты
Тесно связанным с лентой Мебиуса является загадочный объект - бутылка Кляйна . Бутылка Кляйна может быть создана склеиванием двух лент Мебиуса друг с другом вдоль их границ. Эта операция не может быть произведена в трехмерном пространстве без создания пересечений внутри фигуры.
Одна из базовых невозможных фигур невозможный треугольник может быть представлен как лента Мебиуса, если сгладить некоторое его грани. При этом получится лента Мебиуса, описывающая три витка.
Искусство
 Логотип The Power Architecture |
Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования.
Приложение. Картины с лентами Мебиуса
Картина ниже Пола Билацика (Paul Bielaczyc) называется Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины М.К. Эшера всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником.
Исследовательская работа
по математике
Ученица 6«А» класса,
МОСШ №22
Руководитель: Юдинцева
Надежда Львовна,
учитель математики I категории.
г. Нижневартовск
2учебный год.
Введение. 3
Историческая справка. 6
Изготовление листа Мёбиуса. 8
Эксперименты с листом Мёбиуса. 9
Применение листа Мебиуса в жизни. 13
Заключение. 18
Литература. 19
Введение.
Лист Мёбиуса - желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны.
За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.
Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы
1. Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т. д.)
2. Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т. д.)
З. Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания.
Топология (от греч. tоpos - место и логия ) - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела)
Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.
Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.
Топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию нельзя заключить ни в какие рамки и поэтому я взяла наиболее интересные (как мне кажется) факты.
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии?
Да! Это односторонняя поверхность.
Пример топологии - таинственный и знаменитый лист Мебиуса.
Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области.
Цель моей работы:
Исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.
Мною были поставлены задачи :
1. Собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса
2. Исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса.
3. Показать применение ленты Мёбиуса в жизни.
Историческая справка.
Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.
Август Фердинанд Мёбиус годы жизни г. г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию . Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.
Открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.
Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик – , профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.
Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее! А можете проследить путешествие человека по листу Мёбиуса на рисунке. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Любопытно, что это название ей дал Иоганн Листинг. Начало этой современной науки положили исследования листа Мёбиуса. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии
Изготовление листа Мёбиуса.
Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т. е. так, что совместятся точки А и В* и точки А* и В.
Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите?
Хотите - проверьте
.
Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист у нас полностью будет окрашен.
Или представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует муравей, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.
У листа Мёбиуса - всего одна сторона!
Эксперименты с листом Мёбиуса.
Эксперимент 1 . Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами.
Эксперимент 2 . Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.
Эксперимент 3 . Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами.
Эксперимент 4 . Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой цепочки по средней линии вдоль. Получится лента с двумя полуоборотами. И за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного.
Такие эксперименты можно продолжать до бесконечности! И получать всё новые и новые результаты!
Предлагаю провести самостоятельно эксперименты:
1. Если разрезать ленту на шесть равных частей, то мы получим три ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел.
2. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.
3. Что получится если разрезать это кольцо вдоль, отступив от края на ¼? На 1/5?
А сейчас я хочу предложить очень удивительное на мой взгляд превращение листа Мебиуса!
4. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. Вы поразитесь тому, что получится, если разрезать двойное кольцо.
Получилась квадратная рамка !
Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиус
Мы убедились в том, что лист Мёбиуса обладает такими топологическими свойствами как односторонность, непрерывность, связность.
Применение листа Мебиуса в жизни.
Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ.
Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.
Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.
Лист Мёбиуса в технике и физике
Для начала надо вспомнить, что на магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с “двух сторон” не меняя местами.
В технике, например, при шлифовании, широко используются мебиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, те же граниты и базальты.
Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается значит, и служить она будет дольше.. Это даёт ощутимую экономию.
Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца.
А лет восемнадцать назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель. Полоса ленточного конвейера выполнялись в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.
Силовая конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких круглых)
Трансформатор
Лист Мёбиуса в природе и в жизни.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Лист Мёбиуса в искусстве.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка Стена Темноты. Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда, появляясь снова только через несколько месяцев.
1. Лист Мебиуса имеет один край.
2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.
3. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лепта Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния
Заключение.
Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.
В этой работе я пыталась описать свойства прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.
Топология изучает не только односторонние поверхности. К топологическим задачам относятся задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. Сеть таких кривых называют графами. Но об этом другой разговор.
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:
q У математиков - идут дальнейшие исследования;
q У школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
q В технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.
Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.
Литература.
1. , "Математика и искусство" издательство:"Просвещение"
2. Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., №г.
3. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г
4. , «Математическая разминка»
5. интернет - ресурсы сайта: http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0 25.12.2007
6. Кордемский опыты своими руками Квант, 1974, №3
7. С математикой в путь «Педагогика»,1987
8. , «Я познаю мир математика»
9. . и «Первые понятия топологии», Москва, из-во «Мир», 1967 год.
Загрузка...
